Manual Teórico: Cálculo de Uniones Soldadas según el Método del Área de Garganta

Este documento describe la teoría implementada en el código weld_calculator.py para el análisis de tensiones en uniones soldadas de filete. El método sigue el enfoque clásico de proyección sobre el área de garganta presentado en textos como Shigley, y se ha extendido para manejar cordones con orientación arbitraria y estados de carga generales (fuerzas y momentos en 3D). Todas las ecuaciones se presentan en unidades del Sistema Internacional (m, N, Pa).

1. Introducción

En una soldadura de filete, la sección resistente se idealiza como el área de garganta, un plano inclinado a 45° respecto a las caras del cordón. Sobre esta área actúan tensiones normales ($\sigma$) y cortantes ($\tau$) que se calculan proyectando las fuerzas y momentos resultantes. El código presentado automatiza este proceso para un conjunto de cordones, permitiendo:

• Definir cordones mediante sus puntos extremos y su garganta $h$.
• Calcular propiedades geométricas globales (centroide, momentos de inercia, etc.).
• Aplicar múltiples cargas (fuerzas en cualquier dirección) y obtener las tensiones en puntos a lo largo de los cordones.
• Evaluar el factor de seguridad según los criterios de von Mises o Tresca.
• Visualizar los resultados mediante gráficos vectoriales y de barras.

2. Geometría del cordón de soldadura

Cada cordón se representa como un segmento rectilíneo en el plano $XY$ (la coordenada $Z$ se reserva para cargas fuera del plano). El cordón tiene una garganta $h$ (en metros) que define el espesor efectivo.

2.1. Longitud y área de garganta

La longitud del cordón es la distancia entre sus puntos extremos:

$$ l = |\mathbf{P}_{\text{fin}} - \mathbf{P}_{\text{inicio}}| \quad [\text{m}] $$

El área de la garganta (superficie de falla) es un rectángulo de dimensiones $l \times (h/\sqrt{2})$:

$$ A = \frac{h}{\sqrt{2}} , l \quad [\text{m}^2] $$

2.2. Centroide del cordón

El centroide del cordón (punto medio del segmento) es:

$$ \mathbf{C} = \frac{\mathbf{P}_{\text{inicio}} + \mathbf{P}_{\text{fin}}}{2} \quad [\text{m}] $$

2.3. Momentos de inercia locales

Respecto a su centroide, el área de garganta (rectángulo) tiene dos momentos de inercia principales:

• Eje longitudinal (paralelo al cordón):

$$ I_{\text{long}} = \frac{1}{12} \left(\frac{h}{\sqrt{2}}\right) l^3 \quad [\text{m}^4] $$

• Eje transversal (perpendicular al cordón en el plano de la garganta):

$$ I_{\text{trans}} = \frac{1}{12} l \left(\frac{h}{\sqrt{2}}\right)^3 \quad [\text{m}^4] $$

El momento polar del cordón (respecto a su centroide) es la suma de ambos:

$$ J_G^{\text{local}} = I_{\text{long}} + I_{\text{trans}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{12} , h , l^3 \quad [\text{m}^4] $$

2.4. Transformación a ejes globales

Cuando el cordón forma un ángulo $\theta$ con el eje $X$ global, los momentos de inercia respecto a los ejes globales $X, Y$ (con origen en el centroide del cordón) se obtienen mediante rotación:

$$ \begin{aligned} I_{xx}^{\text{loc}} &= I_{\text{long}} \sin^2\theta + I_{\text{trans}} \cos^2\theta \\ I_{yy}^{\text{loc}} &= I_{\text{long}} \cos^2\theta + I_{\text{trans}} \sin^2\theta \\ I_{xy}^{\text{loc}} &= (I_{\text{long}} - I_{\text{trans}}) \sin\theta \cos\theta \end{aligned} \quad [\text{m}^4] $$

donde $\theta = \arctan\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)$ con $\Delta x, \Delta y$ las componentes del vector dirección del cordón.

3. Propiedades del conjunto de cordones

Para la unión completa (varios cordones), se calculan propiedades globales utilizando el teorema de Steiner (transporte de ejes paralelos).

3.1. Centroide global

El centroide del conjunto se obtiene como promedio ponderado por área:

$$ \mathbf{C}_G = \frac{\sum_{i} A_i , \mathbf{C}_i}{\sum_{i} A_i} \quad [\text{m}] $$

3.2. Área total

$$ A_{\text{total}} = \sum_i A_i \quad [\text{m}^2] $$

3.3. Momento polar equivalente para torsión

El momento polar total (respecto al centroide global) se calcula sumando el momento local de cada cordón más el término de transporte $A_i , r_i^2$, donde $r_i$ es la distancia del centroide del cordón al centroide global:

$$ J_G = \sum_i \left( J_{G,i}^{\text{local}} + A_i , r_i^2 \right) \quad [\text{m}^4] $$

3.4. Tensor de inercia para flexión

Los momentos y producto de inercia globales (respecto a los ejes $X, Y$ con origen en $\mathbf{C}_G$) se ensamblan de forma análoga:

$$ \begin{aligned} I_{xx} &= \sum_i \left( I_{xx,i}^{\text{loc}} + A_i , (y_{C_i} - y_G)^2 \right) \\ I_{yy} &= \sum_i \left( I_{yy,i}^{\text{loc}} + A_i , (x_{C_i} - x_G)^2 \right) \\ I_{xy} &= \sum_i \left( I_{xy,i}^{\text{loc}} + A_i , (x_{C_i} - x_G)(y_{C_i} - y_G) \right) \end{aligned} \quad [\text{m}^4] $$

Estos valores definen completamente la respuesta de la unión ante momentos flectores.

4. Reducción de cargas al centroide

Dado un conjunto de fuerzas $\mathbf{F}_k$ (en Newtons) aplicadas en puntos $\mathbf{P}_k$, se trasladan al centroide global obteniendo una fuerza resultante y un momento resultante:

$$ \mathbf{F}_{\text{total}} = \sum_k \mathbf{F}_k \quad [\text{N}] $$

$$ \mathbf{M}_{\text{total}} = \sum_k \left( (\mathbf{P}_k - \mathbf{C}_G) \times \mathbf{F}_k \right) \quad [\text{N·m}] $$

El vector $\mathbf{M}_{\text{total}}$ tiene componentes $(M_x, M_y, M_z)$.

5. Cálculo de tensiones en la garganta

Para un punto de evaluación $\mathbf{P}$ (perteneciente a algún cordón), se determinan las siguientes tensiones.

5.1. Tensión cortante primaria (corte directo)

Debida a las componentes de fuerza en el plano $XY$ ( $F_x, F_y$ ):

$$ \boldsymbol{\tau}_1 = -\frac{1}{A_{\text{total}}} \begin{bmatrix} F_x \ F_y \ 0 \end{bmatrix} \quad [\text{Pa}] $$

El signo negativo es convencional (la tensión se opone a la fuerza aplicada).

5.2. Tensión cortante por torsión (momento $M_z$)

El momento torsor $M_z$ produce una distribución de tensiones cortantes en el plano $XY$:

$$ \boldsymbol{\tau}_2 = \frac{-\mathbf{M}_{\text{torsión}} \times (\mathbf{P} - \mathbf{C}_G)}{J_G}, \quad \text{con } \mathbf{M}_{\text{torsión}} = (0,0,M_z) \quad [\text{Pa}] $$

La tensión cortante total es:

$$ \boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{\tau}_1 + \boldsymbol{\tau}_2 $$

5.3. Tensión normal (axial + flexión)

La tensión normal en el punto $\mathbf{P}$ tiene tres contribuciones:

• Axial (debida a $F_z$):

$$ \sigma_{\text{axial}} = \frac{F_z}{A_{\text{total}}} \quad [\text{Pa}] $$

• Flexión alrededor de $X$ e $Y$: cuando los ejes no son principales, se utiliza la fórmula general de flexión asimétrica. Sea $\mathbf{r} = \mathbf{P} - \mathbf{C}_G = (x, y, 0)$. La tensión por flexión es:

$$ \sigma_{\text{flexión}} = \frac{ (M_x I_{yy} - M_y I_{xy}) , y + (M_y I_{xx} - M_x I_{xy}) , x }{ I_{xx} I_{yy} - I_{xy}^2 } \quad [\text{Pa}] $$

Esta expresión reduce a $\frac{M_x y}{I_{xx}} + \frac{M_y x}{I_{yy}}$ cuando $I_{xy}=0$ (ejes principales).

La tensión normal total es:

$$ \sigma = \sigma_{\text{axial}} + \sigma_{\text{flexión}} $$

5.4. Tensión equivalente de von Mises

Para evaluar el riesgo de fluencia en materiales dúctiles, se combinan las tensiones normal y cortante mediante el criterio de von Mises:

$$ \sigma_{\text{VM}} = \sqrt{ \sigma^2 + 3 |\boldsymbol{\tau}|^2 } \quad [\text{Pa}] $$

6. Factor de seguridad

El factor de seguridad $n$ se define como el cociente entre la tensión de fluencia del material $S_y$ (Pa) y la tensión equivalente:

$$ n = \frac{S_y}{\sigma_{\text{eq}}} $$

Dos criterios están implementados:

• von Mises: $\sigma_{\text{eq}} = \sigma_{\text{VM}}$ (recomendado para materiales dúctiles).
• Tresca (máxima cortante): $\sigma_{\text{eq}} = 2 \sqrt{(\sigma/2)^2 + |\boldsymbol{\tau}|^2 }$.

El código devuelve tanto el factor de seguridad mínimo (punto más crítico) como una lista con los valores en todos los puntos evaluados.

7. Visualización de resultados

El módulo incluye varias funciones gráficas:

• plot_vectors: dibuja los cordones, el centroide y, sobre los puntos de evaluación, vectores (para $\boldsymbol{\tau}$) o círculos coloreados (para $\sigma$ o $\sigma_{\text{VM}}$). Permite escalar y superponer componentes.
• plot_sigma_unfolded: genera un gráfico de barras con la tensión normal $\sigma$ (en MPa) a lo largo de la unión "desplegada". Cada cordón aparece en una región separada con su color y etiqueta.
• plot_n_unfolded: similar al anterior, pero muestra el factor de seguridad $n$. Incluye una línea horizontal en $n=1$ para identificar zonas de falla inminente.

8. Ejemplo de aplicación

A continuación se muestra un ejemplo básico (para Jupyter Lab) que define tres cordones (horizontal, vertical y oblicuo), aplica dos cargas y visualiza los resultados.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import weld_calculator as wc

# Crear cordones con nombres
c1 = wc.Weld(name="Horizontal")
c1.start_point = [0, 0, 0]
c1.end_point = [0.05, 0, 0]
c1.h = 0.005
c1.weld_calcs()
c1.color = "black"

c2 = wc.Weld(name="Vertical")
c2.start_point = [0, 0, 0]
c2.end_point = [0, 0.05, 0]
c2.weld_calcs()
c2.color = "green"

c3 = wc.Weld(name="Oblicuo")
c3.start_point = [0.05, 0, 0]
c3.end_point = [0.1, 0.05, 0]
c3.weld_calcs()
c3.color = "blue"

# Unión
wj = wc.Weld_joint()
wj.welds = [c1, c2, c3]
wj.weld_calcs()

# Cargas
F1 = np.array([0, -1000, 0])
p1 = np.array([0.15, 0.05, 0])
F2 = np.array([0, 0, 500])
p2 = np.array([0.025, 0.025, 0])
forces = [F1, F2]
points_F = [p1, p2]

# Puntos de evaluación
pts1 = wc.equidistant_points(c1, 15)
pts2 = wc.equidistant_points(c2, 15)
pts3 = wc.equidistant_points(c3, 15)
weld_points = wc.remove_repeats(np.vstack((pts1, pts2, pts3)))

# Evaluar
wj.weld_evaluation(forces, points_F, weld_points)

# Visualizar tensiones cortantes
wj.plot_vectors(weld_points, plot_type='tau', scale_vectors=0.5, scale_magnitud=1e-6)

# Visualizar tensión normal desplegada
wj.plot_sigma_unfolded(weld_points)

# Visualizar factor de seguridad (suponiendo fluencia de 250 MPa)
wj.plot_n_unfolded(weld_points, fluencia=250e6, criterio='vm')

9. Referencias

• Shigley, J. E., & Mischke, C. R. (2011). Diseño en ingeniería mecánica. McGraw-Hill.
• Blodgett, O. W. (1966). Design of Welded Structures. The James F. Lincoln Arc Welding Foundation.