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机器学习——微积分求极值
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<time itemprop="dateCreated" datetime="2017-07-03T09:02:37+08:00" content="2017-07-03">
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<p><img src="/images/屏幕快照 2017-06-27 下午5.35.50.png" alt=""></p>
<p>求代价函数最小值问题，如果是正规方程，我们可以对每个参数值求导并令导数为0。<br>我们队最小二乘法进行参数求导，最终得到的关系如上图所示</p>
<p><img src="/images/屏幕快照 2017-06-28 下午11.40.00.png" alt=""></p>
<p>如果使用了正规方程，那么就不需要进行特征缩放（特征变量归一化处理，便于进行梯度下降）取相似范围，因为最终算出来的结果是一样的.</p>
<p>我们可以使用matlab或者Octave来进行正规方程的计算。<br>推荐使用pin函数来进行计算，因为正规方程中设计的矩阵逆运算，即是矩阵没有逆矩阵也会给出结果。<br>那么是什么导致举证不可逆呢？</p>
<p>存在多余的相似特征，我们可以删除他</p>
<p>太多的特征导致行数小于列数，我们可以通过删减特征以使举证为方阵，矩阵的可逆是建立在方阵基础上的</p>
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机器学习——特征缩放
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<p><img src="/images/屏幕快照 2017-06-27 下午5.35.50.png" alt=""></p>
<p>特征缩放一般希望将特征值缩放到-1 到 1之间或者非常相近的区域之间，这样做的原因是为了便于梯度下降算法运行的更快。<br>只要缩放到相近似的范围即可</p>
<p>如图缩放的方式为：<br>（x-u)/s ,其中x是特征值，u是均值，s是值范围。</p>
<p>如何确定梯度下降运行正确？</p>
<p>如何确定学习速率？</p>
<p><img src="/images/屏幕快照 2017-06-28 下午12.16.05.png" alt=""></p>
<p>由梯度下降公式可知，学习速率越大，j函数值下降的越快，越快速趋缓，在较少的迭代中，函数值迅速趋向缓和表明学习速率大</p>
<p>如果学习速率太小，收敛速度慢，如果学习速率太大，可能会错过收敛点</p>
<p>为了确定学习速率多少合适，可以先设定一个学习速率，迭代几次值，画出二维坐标，连线看先下降的趋势，如上图，通过下降趋势来判断设置的学习速率是偏大还是偏小</p>
<p>面对一个事物，我们选取什么特征进行建模需要多方考虑，有时候需要将多个特征综合起来表示成一个特征，比如房子的宽高我们可以表示为面积</p>
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机器学习——分类及其代价函数
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<p><img src="/images/屏幕快照 2017-06-30 下午4.34.12.png" alt=""></p>
<p>一个这样的例子：0表示没有得肿瘤 1表示得了恶性肿瘤，在二维坐标系上建立关系，横轴表示肿瘤大小，纵轴代表是否得了恶性肿瘤。</p>
<p><img src="/images/屏幕快照 2017-06-30 下午4.39.02.png" alt=""></p>
<p>我们画一条线去拟合这些点，设置一个阈值，比如0.5，函数输出值大于0.5归类1 ，函数小于0.5归类0。</p>
<p><img src="/images/屏幕快照 2017-06-30 下午4.46.28.png" alt=""></p>
<p>当我们仅仅用线性回归去拟合，线性回归的的取值域往往不在[0,1]之间，这显然是不合理的。</p>
<p>下面引出logistic线性回归，解决二分类问题。</p>
<p>上面说到，我们希望函数的输出在0与1之间，logistic线性函数即满足这种特征，logistic函数解决了输出值必须在0，1内的问题，但是划分边界需要假设函数（决策边界）自己去定义。<br>hθ(x)=g(θTx)<br>z=θTx<br>g(z)=11+e−z</p>
<p><img src="/images/屏幕快照 2017-06-30 下午5.00.33.png" alt=""></p>
<p>我们预测一个病人得了恶性肿瘤的概率<br>P(y=1|x;theTa) 读作在给定x，参数为theTa的情况下，得了恶性肿瘤的概率。</p>
<p>决策边界</p>
<p><img src="/images/屏幕快照 2017-06-30 下午5.12.57.png" alt=""></p>
<p>假设函数为</p>
<p><img src="/images/屏幕快照 2017-06-30 下午5.26.28.png" alt=""></p>
<p>有图可知，要是y = 1 ，那么g(z)必须大于或等于0.5 ，此时,z>0,即h(x)>=0<br>假设参数已经知道，分别 -3 ，1，1，那么假设函数为<br>h(x) = -3 + x1 + x2;<br>-3+x1+x2 >=0</p>
<p><img src="/images/屏幕快照 2017-06-30 下午5.30.40.png" alt=""></p>
<p>那么这条线成为决策边界，那么h(x)=0实际上就是决策边界。但是并非所有情况下，决策边界都是线性的。</p>
<p><img src="/images/屏幕快照 2017-06-30 下午5.42.16.png" alt=""></p>
<p>如图所示，决策边界应当是个圆形，那么我我们可以使用多项式的方式去拟合这个边界。</p>
<p>逻辑回归的代价函数</p>
<p>我们不能直接使用最小二乘法作为逻辑回归的代价函数，因为将函数带入后会发现，代价函数是非凸函数，这给求极值带来了困难。因为h(x)的值域为[0,1]<br>我们使用去log的方式代替<br>J(θ)=1m∑i=1mCost(hθ(x(i)),y(i))<br>Cost(hθ(x),y)=−log(hθ(x)) if y = 1<br>Cost(hθ(x),y)=−log(1−hθ(x)) if y = 0</p>
<p><img src="/images/屏幕快照 2017-07-02 下午6.00.46.png" alt=""></p>
<p>通过变换代价函数为等方向的凸，使得求极值跟容易。</p>
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机器学习——代价函数
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2017-06-26
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<p><img src="/images/屏幕快照 2017-06-25 下午7.03.02.png" alt=""></p>
<p>如上所示，给定一个训练集，假设数据拟合的模型结构为一元线性结构，我们需要解决的问题是如何根据数据集，求解出合适的参数值。不同的参数值决定了拟合直线的走向。</p>
<p>当我们求解出了参数值，对模型进行了拟合后，需要评价模型预测的精度如何，需要一个对模型的评价标准，代价函数便是做这样的工作。</p>
<p>在线性回归问题中，常用的代价函数是方差平方和（也叫最小二乘法）。使用预测值与真实值差值的平房和来对模型的精度进行评价。</p>
<p><img src="/images/屏幕快照 2017-06-25 下午7.17.28.png" alt=""></p>
<p>最合理的参数值应当使代价函数的值最小，由此参数的求解问题，转化到数学求极值问题。</p>
<p><img src="/images/屏幕快照 2017-06-25 下午7.18.44.png" alt=""></p>
<p>而代价函数的极值问题，不同的函数其极值的分布可能是复杂的，比较简单的二次函数的代价函数模型可能如下：</p>
<p><img src="/images/屏幕快照 2017-06-25 下午7.41.28.png" alt=""></p>
<p>显然当参数值取1的时候函数取最小值，由此确定参数值</p>
<p>假设现在需要求的参数值有两个，那么最后的图可能是这样的：</p>
<p><img src="/images/屏幕快照 2017-06-25 下午7.49.54.png" alt=""></p>
<p>我们去掉J轴，用地理学中等高线的概念的表示上面的三维图，等高线的高度从外圈向内圈递减，同一条线的上J轴值相等如下右图所示：</p>
<p><img src="/images/屏幕快照 2017-06-25 下午8.00.00.png" alt=""></p>
<p>在这两个参数所建立的二维坐标系中，每确定一组参数值，将有对应的J轴值，由图可知，J轴的最小值是最小圆的中心点。。</p>
<p>对于更多为的参数，我们无法画出这样的图形进行人工筛选求解，会通过梯段算法或者牛顿方法进行求解</p>
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机器学习——线性回归
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<p>假设我们有一个房价问题</p>
<p><img src="/images/屏幕快照 2017-06-25 下午6.48.21.png" alt=""></p>
<p>给定的样本数据如图所示，现在需要根据这些点拟合出一个线性函数，以便于进行房价预测。</p>
<p>将样本数据进行整理如下:<br><img src="/images/屏幕快照 2017-06-25 下午6.50.28.png" alt=""></p>
<p>m表示样本个数，x表示输入值，y表示输入出值。</p>
<p>使用<img src="/images/屏幕快照 2017-06-25 下午6.53.56.png" alt="">表示样本第i行样本数据。</p>
<p>我们通过如如样本数据给学习算法，确定学习算法的参数值后得到学习算法，然后使用学习算法进行输出值的预测。</p>
<p><img src="/images/屏幕快照 2017-06-25 下午6.56.41.png" alt=""></p>
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机器学习——梯度下降
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